а) \({7^{2\cos x}} = {49^{\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{7^{2\cos x}} = {7^{2\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x = 2\sin 2x.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\(2\cos x = 4\sin x\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\cos x\left( {2-4{\sin}x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\,\;\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0,\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}k,\\x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }}k,\\x = \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + 2{\rm{\pi }}k,\end{array} \right.\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\rm{\pi }};\,\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{2}} \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }} = \dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{2};\,\;\,\,\,\,x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + 2{\rm{\pi }} = \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{2};\;\,\,\;\,\,x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }} = \dfrac{{13{\rm{\pi }}}}{6}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}k;\quad \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }}k;\quad \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + 2{\rm{\pi }}k;\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2};\;\;\dfrac{{{\rm{13\pi }}}}{6};\;\;\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{2}.\)