119В. Решите неравенство \(\dfrac{{2{{\log }_8}\left( {{x^2}-3x} \right)}}{{{{\log }_8}{x^2}}} \le 1.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-1;0} \right) \cup \left( {3;4} \right].\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}-3x > 0,\\{x^2} > 0,\\{\log _8}{x^2} \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right),\\x \ne 0,\\x \ne \pm 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \(\dfrac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}} = {\log _c}b.\) \(\dfrac{{2{{\log }_8}\left( {{x^2}-3x} \right)}}{{{{\log }_8}{x^2}}} \le 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\,{\log _{{x^2}}}\left( {{x^2}-3x} \right) \le 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _{{x^2}}}\left( {{x^2}-3x} \right) \le \dfrac{1}{2}{\log _{{x^2}}}{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _{{x^2}}}\left( {{x^2}-3x} \right) \le {\log _{{x^2}}}\left| x \right|.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. Следовательно: \({\log _{{x^2}}}\left( {{x^2}-3x} \right) \le {\log _{{x^2}}}\left| x \right|\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {{x^2}-1} \right)\left( {{x^2}-3x-\left| x \right|} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\,\left( {{x^2}-1} \right)\left( {{x^2}-3x-\left| x \right|} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{x^2}-1 = 0,\\{x^2}-3x-\left| x \right| = 0.\end{array} \right.\) Решим второе уравнение последней совокупности: \({x^2}-3x-\left| x \right| = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,\\{x^2}-3x-x = 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0,\\{x^2}-3x + x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,\\\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 4,\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0,\\\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 4.\end{array} \right.\) Следовательно: \(\,\left[ \begin{array}{l}{x^2}-1 = 0,\\{x^2}-3x-\left| x \right| = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \pm 1,\\x = 0,\\x = 4.\end{array} \right.\) Таким образом, решением последнего неравенства является: \(x \in \left[ {-1;0} \right] \cup \left[ {1;4} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {3;4} \right].\) Ответ: \(\left( {-1;0} \right) \cup \left( {3;4} \right].\) 
