Запишем ОДЗ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0,\\{\log _5}x > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x > 0,\\{\log _5}x > {\log _5}1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x > 0,\\x > 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right).\)
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: \({a^{{{\log }_a}b}} = b.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\({\log _5}x + \log _{0,2}^2x-12 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _5}x + \log _{{5^{-1}}}^2x-12 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _5}x + {\left( {-{{\log }_5}x} \right)^2}-12 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\log _5^2x + {\log _5}x-12 \le 0.\)
Пусть \({\log _5}x = t.\) Тогда:
\({t^2} + t-12 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,-4 \le t \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,-4 \le {\log _5}x \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\log _5}\dfrac{1}{{625}} \le {\log _5}x \le {\log _5}125\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{625}} \le x \le 125.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;125} \right].\)
Ответ: \(\left( {1;125} \right].\)