ЕГЭ Профиль. Логарифмические неравенства. Задача 131В (ЕГЭ 2026)

ОТВЕТ: \(\left[ {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,5 \cdot {2^x} > 0,\\{\log _3}\left( {0,5 \cdot {2^x}} \right) \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{2^x} > 0,\\0,5 \cdot {2^x} \ne 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in R,\\x \ne 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\dfrac{{{4^x}-3 \cdot {2^x} + 2}}{{{{\log }_3}\left( {0,5 \cdot {2^x}} \right)}} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{4^x}-3 \cdot {2^x} + 2}}{{{{\log }_3}{2^{x-1}}}} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{4^x}-3 \cdot {2^x} + 2}}{{\left( {x-1} \right){{\log }_3}2}} \ge 0.\)

Так как \({\log _3}2 > {\log _3}1 = 0,\) то последнее неравенство примет вид:

\(\dfrac{{{4^x}-3 \cdot {2^x} + 2}}{{x-1}} \ge 0.\)

Разложим числитель \({4^x}-3 \cdot {2^x} + 2\) на множители. Пусть \({2^x} = t.\) Тогда:

\({t^2}-3t + 2 = \left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right).\)

Следовательно, последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{{\left( {{2^x}-1} \right)\left( {{2^x}-2} \right)}}{{x-1}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Найдём нули числителя: \(\left( {{2^x}-1} \right)\left( {{2^x}-2} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{2^x}-1 = 0,\\{2^x}-2 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 1.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(x-1 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 1.\)

Следовательно, \(x \in \left[ {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Так как ОДЗ \(x \ne 1,\) то решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Ответ: \(\left[ {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)