ЕГЭ Профиль. Логарифмические неравенства. Задача 132В (ЕГЭ 2026)

ОТВЕТ: \(\left[ {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,25 \cdot {2^x} > 0,\\{\log _7}\left( {0,25 \cdot {2^x}} \right) \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{2^x} > 0,\\0,25 \cdot {2^x} \ne 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in R,\\x \ne 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne 2.\)

\(\dfrac{{{{25}^x}-30 \cdot {5^x} + 125}}{{{{\log }_7}\left( {0,25 \cdot {2^x}} \right)}} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{25}^x}-30 \cdot {5^x} + 125}}{{{{\log }_7}{2^{x-2}}}} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{25}^x}-30 \cdot {5^x} + 125}}{{\left( {x-2} \right){{\log }_7}2}} \ge 0.\)

Так как \({\log _7}2 > {\log _7}1 = 0,\) то последнее неравенство примет вид:

\(\dfrac{{{{25}^x}-30 \cdot {5^x} + 125}}{{x-2}} \ge 0.\)

Разложим числитель \({25^x}-30 \cdot {5^x} + 125\) на множители. Пусть \({5^x} = t.\) Тогда:

\({t^2}-30t + 125 = \left( {t-5} \right)\left( {t-25} \right).\)

Следовательно, последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{{\left( {{5^x}-5} \right)\left( {{5^x}-25} \right)}}{{x-2}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Найдём нули числителя: \(\left( {{5^x}-5} \right)\left( {{5^x}-25} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{5^x}-5 = 0,\\{5^x}-25 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1,\\x = 2.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(x-2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 2.\)

Следовательно, \(x \in \left[ {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Так как ОДЗ \(x \ne 2,\) то решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Ответ: \(\left[ {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)