ЕГЭ Профиль. Логарифмические неравенства. Задача 138В (ЕГЭ 2026)

ОТВЕТ: \(\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right]\, \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};1} \right).\)

\(2{\log _3}\left( {x\sqrt 3 } \right)-{\log _3}\dfrac{x}{{1-x}} \le {\log _3}\left( {9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _3}\left( {3{x^2}} \right)-{\log _3}\dfrac{x}{{1-x}} \le {\log _3}\left( {9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _3}\left( {3{x^2} \cdot \dfrac{{1-x}}{x}} \right) \le {\log _7}\left( {9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4} \right).\)

Заданное неравенство равносильно системе неравенств:

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 3 > 0,\\\dfrac{x}{{1-x}} > 0,\\9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4 > 0,\\3{x^2} \cdot \dfrac{{1-x}}{x} \le 9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4.\end{array} \right.\)

Так как \(x\sqrt 3 > 0\) и \(\dfrac{x}{{1-x}} > 0\), то \(3{x^2} \cdot \dfrac{{1-x}}{x} > 0\) и тогда при решении четвёртого неравенства последней системы условие \(9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4 > 0\) выполнится автоматически. Следовательно,

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 3 > 0,\\\dfrac{x}{{1-x}} > 0,\\9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4 > 0,\\3{x^2} \cdot \dfrac{{1-x}}{x} \le 9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4\end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 3 > 0,\\\dfrac{x}{{1-x}} > 0,\\3{x^2} \cdot \dfrac{{1-x}}{x} \le 9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4.\end{array} \right.\)

Рассмотрим первое неравенство системы: \(x\sqrt 3 > 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\infty } \right).\)

Рассмотрим второе неравенство системы: \(\dfrac{x}{{1-x}} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{x-1}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {0;1} \right).\)

Общее решение первых двух неравенств системы: \(x \in \left( {0;1} \right).\)

Рассмотрим третье неравенство системы:

\(3{x^2} \cdot \dfrac{{1-x}}{x} \le 9{x^2} + \dfrac{1}{x}-4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x-12{x^2}-\dfrac{1}{x} + 4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{12{x^3}-3{x^2}-4x + 1}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{3{x^2}\left( {4x-1} \right)-\left( {4x-1} \right)}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {4x-1} \right)\left( {3{x^2}-1} \right)}}{x} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(\left( {4x-1} \right)\left( {3{x^2}-1} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}4x-1 = 0,\\3{x^2}-1 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4},\\x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(x = 0.\)

Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right).\)

Найдём общее решение всех трёх неравенств:

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right]\, \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};1} \right).\)

Ответ: \(\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right]\, \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};1} \right).\)