\({\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{{\log }_5}\left( {{{\log }_2}\dfrac{{7x-3}}{{x-4}}} \right)} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{{\log }_5}\left( {{{\log }_2}\dfrac{{7x-3}}{{x-4}}} \right)} \right) \ge {\log _{\dfrac{1}{3}}}1.\)
Так как \(\frac{1}{3} < 1,\) то неравенство примет вид:
\(0 < {\log _5}\left( {{{\log }_2}\dfrac{{7x-3}}{{x-4}}} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}1 < {\log _5}\left( {{{\log }_2}\dfrac{{7x-3}}{{x-4}}} \right) \le {\log _5}5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < {\log _2}\dfrac{{7x-3}}{{x-4}} \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}2 < {\log _2}\dfrac{{7x-3}}{{x-4}} \le {\log _2}32\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2 < \;\dfrac{{7x-3}}{{x-4}} \le 32\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{7x-3}}{{x-4}} > 2,\;}\\{\dfrac{{7x-3}}{{x-4}} \le 32}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{5x + 5}}{{x-4}} > 0,\;\;\;\,\;\;\;}\\{\dfrac{{-25x + 125}}{{x-4}} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 1}}{{x-4}} > 0,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-4}} \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;4} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\;\;\,}\end{array}} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left[ {5;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left[ {5;\;\infty } \right).\)