\(\left( {{{\log }_2}x-3} \right) \cdot {\log _3}x \ge 0.\)
ОДЗ: \(x > 0.\)
Решим данное неравенство методом интервалов:
\(\left( {{{\log }_2}x-3} \right) \cdot {\log _3}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x-3 = 0,}\\{{{\log }_3}x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x\, \in \,\left( {0;1} \right] \cup \left[ {8;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;1} \right] \cup \left[ {8;\infty } \right).\)