\(\dfrac{{{{\log }_5}\left( {-x} \right)}}{{{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( {-x} \right) + 1}} \ge 0.\)
Ограничение на подлогарифмические выражения: \(-x > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x < 0.\) Решим данное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
\({\log _5}\left( {-x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,-x = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -1.\)
Найдём нули знаменателя:
\({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {-x} \right) + 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,-x \ne 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \ne -2.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {-2;-1} \right].\)
Ответ: \(\,\left( {-2;-1} \right].\)