Профиль №15. Логарифмические неравенства. Задача 41А

Задача 41А. Решите неравенство \(\dfrac{{4\lg x-3}}{{\lg x-1}} < 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;10} \right).\)

Решение

\(\dfrac{{4\lg x-3}}{{\lg x-1}} < 3.\)

Пусть \(\lg x = t\). Тогда:

\(\dfrac{{4t-3}}{{t-1}} < 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{4t-3}}{{t-1}}-3 < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{t}{{t-1}} < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,0 < t < 1.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(0 < \lg x < 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\lg 1 < \lg x < \lg 10\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 < x < 10\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {1;10} \right).\)

Ответ: \(\left( {1;10} \right).\)