123В (ЕГЭ 2025). 15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:
– 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– с 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17925 тыс. рублей.
Решение
A-кредит в млн рублей сроком на 24 месяца. Каждый месяц банк начисляет 3% на остаток, а заёмщик выплачивает эти начисленные проценты и \(\dfrac{1}{{24}}\) часть от суммы кредита, то есть \(\dfrac{A}{{24}}\) млн рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\dfrac{{23A}}{{24}}\), через 2 месяца \(\dfrac{{22A}}{{24}}\) и так далее.
| Месяц |
Начисленные % (млн руб.) |
Остаток (млн руб.) |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{3}{{100}}\) |
\(A-\dfrac{A}{{24}} = \dfrac{{23A}}{{24}}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{23A}}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}}\) |
\(\dfrac{{23A}}{{24}}-\dfrac{A}{{24}} = \dfrac{{22A}}{{24}}\) |
| … |
… |
… |
| 12 |
\(\dfrac{{13A}}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}}\) |
\(\dfrac{{13A}}{{24}}-\dfrac{A}{{24}} = \dfrac{{12A}}{{24}}\) |
| 13 |
\(\dfrac{{12A}}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}}\) |
\(\dfrac{{12A}}{{24}}-\dfrac{A}{{24}} = \dfrac{{11A}}{{24}}\) |
| 14 |
\(\dfrac{{11A}}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}}\) |
\(\dfrac{{11A}}{{24}}-\dfrac{A}{{24}} = \dfrac{{10A}}{{24}}\) |
| … |
… |
… |
| 24 |
\(\dfrac{A}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}}\) |
\(\dfrac{A}{{24}}-\dfrac{A}{{24}} = 0\) |
За 2028 год заёмщик выплатит \(\dfrac{1}{2}\) от суммы кредита, то есть \(\dfrac{A}{2}\) млн рублей плюс проценты начисленные за этот год, то есть за месяцы с 13 по 24.
\(\dfrac{A}{2} + \dfrac{{12A}}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}} + \dfrac{{11A}}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}} + … + \dfrac{A}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}} = 17,925\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{{24}} \cdot \dfrac{3}{{100}} \cdot \left( {12 + 11 + … + 1} \right) = 17,925\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{{800}} \cdot \dfrac{{1 + 12}}{2} \cdot 12 = 17,925\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{A}{2} + \dfrac{{39A}}{{400}} = 17,925\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{239A}}{{400}} = 17,925\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A = 30.\)
Ответ: 30.