133В (ЕГЭ 2022). 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
− 15-го числа 15-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;
− к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат после полного погашения кредита равна 1228 тысяч рублей.
Решение
Так как сумма кредита составляла 1100 тысяч рублей, а через 15 месяцев долг составил 500 тысяч рублей, то за первые 15 месяцев долг уменьшился на \(1100-500 = 600\) тысяч рублей. Следовательно, каждый месяц долг уменьшался на \(\dfrac{{600}}{{15}} = 40\) тысяч рублей.
| Месяц |
Начисленные % (тыс. руб) |
Остаток (тыс. руб) |
| 1 |
\(1100 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(1100-40 = 1060\) |
| 2 |
\(1060 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(1060-40 = 1020\) |
| … |
… |
… |
| 15 |
\(540 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(540-40 = 500\) |
| 16 |
\(500 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(500-500 = 0\) |
Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита (1100 тысяч рублей) и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: \(1228-1100 = 128\) тысяч рублей.
\(1100 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 1060 \cdot \dfrac{r}{{100}} + … + 540 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 500 \cdot \dfrac{r}{{100}} = 128\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(\dfrac{r}{{100}} \cdot \left( {1100 + 1060 + … + 500} \right) = 128\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}} \cdot \dfrac{{1100 + 500}}{2} \cdot 16 = 128\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = 1.\)
Ответ: 1.