135В (ЕГЭ 2022). В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годах сумма долга остается равной 1050 тыс. руб.;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение
\(S = 1050\) – кредит в тыс. рублей.
Каждый год остаток долга увеличивается на 10%, то есть в \(\dfrac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1\) раза.
Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по \(0,1S\), а в конце четвёртого и пятого годов равные платежи по x тыс. рублей.
| Год |
Долг после начисления процентов (тыс. руб) |
Платёж (тыс. руб) |
Остаток после платежа (тыс. руб) |
| 2023 |
\(1,1S\) |
\(0,1S\) |
S |
| 2024 |
\(1,1S\) |
\(0,1S\) |
S |
| 2025 |
\(1,1S\) |
\(0,1S\) |
S |
| 2026 |
\(1,1S\) |
x |
\(1,1S-x\) |
| 2027 |
\(\left( {1,1S-x} \right)1,1\) |
x |
\(\left( {1,1S-x} \right)1,1-x\) |
Остаток в конце пятого года равен нулю:
\(\,\left( {1,1S-x} \right) \cdot 1,1-x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1,21S = 1,1x + x\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \dfrac{{1,21S}}{{2,1}}.\)
\(x = \dfrac{{1,21 \cdot 1050}}{{2,1}} = \dfrac{{121 \cdot 105}}{{21}} = 121 \cdot 5 = 605\) тысяч рублей.
Следовательно, последняя выплата будет больше первой на
\(x-0,1S = 605-0,1 \cdot 1050 = 605-105 = 500\) тысяч рублей.
Ответ: 500000 рублей.