Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 136В (ЕГЭ 2022)

136В (ЕГЭ 2022). В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

Ответ

ОТВЕТ: 700 000 рублей.

Решение

A = сумма кредита (в тыс. рублей). Через год долг увеличивается на 20%, то есть в \(\dfrac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t\) раза.

x = 300 тысяч рублей платежи в 2027 и в 2028 годах;

y = 417,6 тысяч рублей платёж в 2029 году.

Год	Долг после начисления процентов (тыс. руб.)	Платёж (тыс. руб.)	Остаток после платежа (тыс. руб.)
2027	\(At\)	x	\(At-x\)
2028	\(\left( {At-x} \right)t\)	x	\(\left( {At-x} \right)t-x\)
2029	\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t\)	y	\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-y\)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю

\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-y = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^3}-x{t^2}-xt-y = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A\,{t^3} = x\left( {{t^2} + t} \right) + y\)

\(A = \dfrac{{x\left( {{t^2} + t} \right) + y}}{{{t^3}}} = \dfrac{{300 \cdot \left( {{{1,2}^2} + 1,2} \right) + 417,6}}{{{{1,2}^3}}} = \dfrac{{300 \cdot 2,64 + 417,6}}{{1,728}} = \)

\( = \dfrac{{792 + 417,6}}{{1,728}} = \dfrac{{1209,6}}{{1,728}} = 700\) тысяч рублей.

Ответ: 700 000 рублей.