Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 138В (ЕГЭ 2022)

138В (ЕГЭ 2022). В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 400 тыс. рублей

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

Ответ

ОТВЕТ: 953600 рублей.

Решение

\(A = 700\) тыс. рублей сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в \(\dfrac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t\) раза.

x = 400 тысяч рублей платежи в 2027 и в 2028 годах.

Пусть y тысяч рублей платёж в 2029 году.

Год	Долг после начисления процентов (тыс. руб.)	Платёж (тыс. руб.)	Остаток после платежа (тыс. руб.)
2027	\(At\)	x	\(At-x\)
2028	\(\left( {At-x} \right)t\)	x	\(\left( {At-x} \right)t-x\)
2029	\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t\)	y	\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-y\)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю

\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-y = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^3}-x{t^2}-xt-y = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = A\,{t^3}-x\left( {{t^2} + t} \right)\)

\(y = 700 \cdot {1,2^3}-400 \cdot \left( {{{1,2}^2} + 1,2} \right) = 700 \cdot 1,728-400 \cdot 2,64 = 153,6\) тысяч рублей.

Следовательно, сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна:

\(x + x + y = 2x + y = 2 \cdot 400 + 153,6 = 953,6\) тысяч рублей.

Ответ: 953600 рублей.