A – кредит сроком на 9 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и одну девятую часть от суммы кредита, то есть \(\dfrac{A}{9}\). Таким образам, через 1 месяц остаток долга будет \(A-\dfrac{A}{9} = \dfrac{{8A}}{9}\), через 2 месяца \(\dfrac{{8A}}{9}-\dfrac{A}{9} = \dfrac{{7A}}{9}\) и так далее.
| Месяц |
Начисленные % |
Остаток после платежа |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(A-\dfrac{A}{9} = \dfrac{{8A}}{9}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{8A}}{9} \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(\dfrac{{8A}}{9}-\dfrac{A}{9} = \dfrac{{7A}}{9}\) |
| … |
… |
… |
| 9 |
\(\dfrac{A}{9} \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(\dfrac{A}{9}-\dfrac{A}{9} = 0\) |
Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 25% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 25% от суммы кредита, то есть \(A \cdot \dfrac{{25}}{{100}}\)
\(\dfrac{{9A}}{9} \cdot \dfrac{r}{{100}} + \dfrac{{8A}}{9} \cdot \dfrac{r}{{100}} + ….. + \dfrac{A}{9} \cdot \dfrac{r}{{100}} = A \cdot \dfrac{{25}}{{100}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{A}{9} \cdot \dfrac{r}{{100}}(9 + 8 + ….. + 1) = A \cdot \dfrac{{25}}{{100}}\,\left| {\,:A\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{9} \cdot \dfrac{{1 + 9}}{2} \cdot 9 = 25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,5 \cdot r = 25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = 5.\)
Ответ: 5.