140В (ЕГЭ 2022). 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет на 20 % больше суммы, взятой в кредит?
Решение
A – кредит сроком на n месяцев. Каждый месяц банк начисляет 1 % на остаток, а заёмщик выплачивает проценты начисленные за месяц на остаток и \(\dfrac{A}{n}\). Тогда остаток через месяц будет равен \(A-\dfrac{A}{n} = \dfrac{{A \cdot (n-1)}}{n},\) через 2 месяца \(\dfrac{{A \cdot (n-2)}}{n}\) и так далее.
| Год |
Начисленные % |
Остаток долга после платежа |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{1}{{100}}\) |
\(\dfrac{{A(n-1)}}{n}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{A(n-1)}}{n} \cdot \dfrac{1}{{100}}\) |
\(\dfrac{{A(n-2)}}{n}\) |
| … |
… |
… |
| n |
\(\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{1}{{100}}\) |
0 |
Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 20% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 20% от суммы кредита, то есть \(A \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\)
\(\dfrac{{A \cdot n}}{n} \cdot \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{{A \cdot (n-1)}}{n} \cdot \dfrac{1}{{100}} + ….. + \dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{1}{{100}} = A \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{1}{{100}} \cdot (n + (n-1) + ….. + 1) = A \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\,\left| {\,:A\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{{1 + n}}{2} \cdot n = 20\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,n = 39.\)
Ответ: 39.