Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 142В (ЕГЭ 2023)

142В (ЕГЭ 2023). В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Ответ

ОТВЕТ: 122 000 рублей.

Решение

А = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличился на 25%, то есть в \(\dfrac{{100 + 25}}{{100}} = \dfrac{5}{4} = t\) раз.

x – ежегодный платёж (в рублях)

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	\(At\)	x	\(At-x\)
2	\(\left( {At-x} \right)t\)	x	\(\left( {At-x} \right)t-x\)
3	\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t\)	x	\(\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-x\)

Общая сумма выплат равна 3x, а остаток в конце третьего года равен нулю.

\(\left\{ \begin{array}{l}3x-A = 65500;\\\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-x = 0.\end{array} \right.\)

Из второго уравнения:

\(A{t^3}-x{t^2}-xt-x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A \cdot {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} \cdot x + \dfrac{5}{4} \cdot x + x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A = \dfrac{{244x}}{{125}}\)

Подставим в первое уравнение:

\(3x-\dfrac{{244x}}{{125}} = 65500\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = \dfrac{{65500 \cdot 125}}{{131}}\)

Тогда: \(A = \dfrac{{244 \cdot 65500 \cdot 125}}{{125 \cdot 131}} = 244 \cdot 500 = 122000\) рублей.

Ответ: 122 000 рублей.