145В (ЕГЭ 2023). В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей?
Решение
Пусть А тысяч рублей кредит сроком на 10 лет. Так как кредит уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна \(\dfrac{A}{{10}}\) тысяч рублей.
| Год |
Начисленные % (тыс. руб) |
Остаток (тыс. руб) |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{{18}}{{100}}\) |
\(A-\dfrac{A}{{10}} = \dfrac{{9A}}{{10}}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{9A}}{{10}} \cdot \dfrac{{18}}{{100}}\) |
\(\dfrac{{9A}}{{10}}-\dfrac{A}{{10}} = \dfrac{{8A}}{{10}}\) |
| … |
… |
… |
| 5 |
\(\dfrac{{6A}}{{10}} \cdot \dfrac{{18}}{{100}}\) |
\(\dfrac{{6A}}{{10}}-\dfrac{A}{{10}} = \dfrac{{5A}}{{10}}\) |
| 6 |
\(\dfrac{{5A}}{{10}} \cdot \dfrac{{16}}{{100}}\) |
\(\dfrac{{5A}}{{10}}-\dfrac{A}{{10}} = \dfrac{{4A}}{{10}}\) |
| 7 |
\(\dfrac{{4A}}{{10}} \cdot \dfrac{{16}}{{100}}\) |
\(\dfrac{{4A}}{{10}}-\dfrac{A}{{10}} = \dfrac{{3A}}{{10}}\) |
| … |
… |
… |
| 10 |
\(\dfrac{A}{{10}} \cdot \dfrac{{16}}{{100}}\) |
0 |
Общая сумма выплат равна сумме кредита (A тысяч рублей) плюс начисленные проценты.
\(A + \dfrac{{10A}}{{10}} \cdot \dfrac{{18}}{{100}} + \dfrac{{9A}}{{10}} \cdot \dfrac{{18}}{{100}} + … + \dfrac{{6A}}{{10}} \cdot \dfrac{{18}}{{100}} + \dfrac{{5A}}{{10}} \cdot \dfrac{{16}}{{100}} + \dfrac{{4A}}{{10}} \cdot \dfrac{{16}}{{100}} + … + \dfrac{A}{{10}} \cdot \dfrac{{16}}{{100}} = 1470\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A + \dfrac{{18}}{{100}} \cdot \dfrac{A}{{10}} \cdot \dfrac{{10 + 6}}{2} \cdot 5 + \dfrac{{16}}{{100}} \cdot \dfrac{A}{{10}} \cdot \dfrac{{5 + 1}}{2} \cdot 5 = 1470\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1000A + 720A + 240A = 1470000\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1960A = 1470000\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A = 750\) тысяч рублей.
Ответ: 750 тысяч рублей.