Пусть первые 5 лет долг уменьшается на «x» тысяч рублей, а последние 5 лет на «y» тысяч рублей.
| Год |
Начисленные % (тыс. руб) |
Остаток (тыс. руб) |
| 2026 |
\(900 \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\) |
\(900-x\) |
| 2027 |
\(\left( {900-x} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\) |
\(900-2x\) |
| … |
… |
… |
| 2030 |
\(\left( {900-4x} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\) |
\(900-5x\) |
| 2031 |
\(\left( {900-5x} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\) |
\(900-5x-y\) |
| 2032 |
\(\left( {900-5x-y} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\) |
\(900-5x-2y\) |
| … |
… |
… |
| 2035 |
\(\left( {900-5x-4y} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}}\) |
\(900-5x-5y\) |
Так как к июлю 2035 года долг выплачен полностью, то \(900-5x-5y = 0.\)
Общая сумма выплат равна сумме кредита (900 тысяч рублей) плюс начисленные проценты. В столбце «Начисленные %» первые 5 слагаемых и последние 5 представляют собой арифметические прогрессии:
\(900 + 900 \cdot \dfrac{{20}}{{100}} + \left( {900-x} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} + … + \left( {900-4x} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} + \)
\( + \left( {900-5x} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} + \left( {900-5x-y} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} + … + \left( {900-5x-4y} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} = 1540\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{20}}{{100}} \cdot \dfrac{{900 + 900-4x}}{2} \cdot 5 + \dfrac{{20}}{{100}} \cdot \dfrac{{900-5x + 900-5x-4y}}{2} \cdot 5 = 640\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,900-2x + 900-5x-2y = 640\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1160-7x-2y = 0.\)
Из равенства \(900-5x-5y = 0\) следует, что \(y = 180-x\). Тогда:
\(1160-7x-2y = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1160-7x-2\left( {180-x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 160.\)
Тогда из равенства \(y = 180-x\) следует, то \(y = 20.\)
Платёж в 2035 году составил начисленным процентам за этот год \(\left( {900-5x-4y} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} = \left( {900-5 \cdot 160-4 \cdot 20} \right) \cdot \dfrac{{20}}{{100}} = 4\) тысячи рублей и \(y = 20\) тысяч рублей, то есть \(4 + 20 = 24\) тысяч рублей.
Ответ: 24 000 рублей.