150В (ЕГЭ 2023). В июле 2025 года планируется кредит на 10 лет в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составлять 400 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите r, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 1740 тыс. рублей.
Решение
Так как в июле 2030 года долг должен составлять 400 тысяч рублей, то за первые 5 лет он уменьшится на \(600000-400000 = 200000\) рублей, то есть первые 5 лет долг каждый год уменьшается на \(\dfrac{{200000}}{5} = 40000\) рублей. Так как к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью, то последние 5 лет долг каждый год уменьшается на \(\dfrac{{400000}}{5} = 80000\) рублей.
| Год |
Начисленные % (тыс. руб) |
Остаток (тыс. руб) |
| 2026 |
\(600 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(600-40 = 560\) |
| 2027 |
\(560 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(560-40 = 520\) |
| … |
… |
… |
| 2030 |
\(440 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(440-40 = 400\) |
| 2031 |
\(400 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(400-80 = 320\) |
| 2032 |
\(320 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(320-80 = 240\) |
| … |
… |
… |
| 2035 |
\(80 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
\(80-80 = 0\) |
Общая сумма выплат равна сумме кредита (600 тысяч рублей) плюс начисленные проценты. В столбце «Начисленные %» первые 5 слагаемых и последние 5 представляют собой арифметические прогрессии:
\(600 + 600 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 560 \cdot \dfrac{r}{{100}} + … + 440 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 400 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 320 \cdot \dfrac{r}{{100}} + … + 80 \cdot \dfrac{r}{{100}} = 1740\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}} \cdot \dfrac{{600 + 440}}{2} \cdot 5 + \dfrac{r}{{100}} \cdot \dfrac{{400 + 80}}{2} \cdot 5 = 1140\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}}\left( {2600 + 1200} \right) = 1140\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = 30.\)
Ответ: 30.