Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 151В (ЕГЭ 2023)

151В (ЕГЭ 2023). В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн руб., где S—целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 20 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 51.

Решение

S – кредит млн рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 30%. Первый год долг уменьшается на \(S-0,9S = 0,1S\), второй год на \(0,9S-0,7S = 0,2S\), третий год на \(0,7S-0,4S = 0,3S\) и четвертый год на 0,4S.

Год	Начисленные % (млн руб)	Выплата (млн руб)	Остаток (млн руб)
2027	\(0,3S\)	\(0,3S + 0,1S = 0,4S\)	\(0,9S\)
2028	\(0,3 \cdot 0,9S\)	\(0,3 \cdot 0,9S + 0,2S = 0,47S\)	\(0,7S\)
2029	\(0,3 \cdot 0,7S\)	\(0,3 \cdot 0,7S + 0,3S = 0,51S\)	\(0,4S\)
2030	\(0,3 \cdot 0,4S\)	\(0,3 \cdot 0,4S + 0,4S = 0,52S\)	0

Чтобы все выплаты были больше 20 млн рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 20 млн рублей. Наименьшей является первая выплата – 0,4S. Следовательно:

\(0,4S > 20\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,S > \dfrac{{200}}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,S > 50.\)

Так как S наименьшее целое, то S = 51.

Ответ: 51.