156В (ЕГЭ 2024). В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 1260 тыс. рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.
Решение
\(S = 1260\) тыс. рублей сумма взятая в кредит.
Каждый год остаток долга увеличивается на 10%, то есть в \(\dfrac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1\) раза.
Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по \(0,1S\), а в конце четвёртого и пятого годов по x тыс. рублей.
| Год |
Долг после начисления процентов (тыс. руб) |
Платёж (тыс. руб) |
Остаток после платежа (тыс. руб) |
| 2027 |
\(1,1S\) |
\(0,1S\) |
S |
| 2028 |
\(1,1S\) |
\(0,1S\) |
S |
| 2029 |
\(1,1S\) |
\(0,1S\) |
S |
| 2030 |
\(1,1S\) |
x |
\(1,1S-x\) |
| 2031 |
\(\left( {1,1S-x} \right)1,1\) |
x |
\(\left( {1,1S-x} \right)1,1-x\) |
Остаток в конце пятого года равен нулю:
\(\,\left( {1,1S-x} \right) \cdot 1,1-x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1,21 \cdot 1260 = 1,1x + x\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \dfrac{{1260 \cdot 1,21}}{{2,1}} = 6 \cdot 121 = 726.\)
Общая сумма выплат за 5 лет равна: \(3 \cdot 0,1S + 2 \cdot 726 = 0,3 \cdot 1260 + 1452 = 1830\) тыс. рублей.
Ответ: 1830000 рублей.