157В (ЕГЭ 2024). 15 -го января планируется взять кредит в банке на 29 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15 число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 29-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2,32 млн рублей?
Решение
A—кредит в млн рублей сроком на 29 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 4% на остаток, а заемщик выплачивает эти начисленные проценты и двадцать девятую часть от суммы кредита, то есть \(\dfrac{A}{{29}}\). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет \(\dfrac{{28A}}{{29}}\), через 2 месяца \(\dfrac{{27A}}{{29}}\) и так далее.
| Месяц |
Начисленные % (млн руб) |
Остаток (млн руб) |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{4}{{100}}\) |
\(A-\dfrac{A}{{29}} = \dfrac{{28A}}{{29}}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{28A}}{{29}} \cdot \dfrac{4}{{100}}\) |
\(\dfrac{{28A}}{{29}}-\dfrac{A}{{29}} = \dfrac{{27A}}{{29}}\) |
| … |
… |
… |
| 29 |
\(\dfrac{A}{{29}} \cdot \dfrac{4}{{100}}\) |
0 |
Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.
\(A + \dfrac{{29A}}{{29}} \cdot \dfrac{4}{{100}} + \dfrac{{28A}}{{29}} \cdot \dfrac{4}{{100}} + … + \dfrac{A}{{29}} \cdot \dfrac{4}{{100}} = 2,32\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \dfrac{A}{{29}} \cdot \dfrac{4}{{100}} \cdot \left( {29 + 28 + … + 1} \right) = 2,32\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \dfrac{{4A}}{{2900}} \cdot \dfrac{{1 + 29}}{2} \cdot 29 = 2,32\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \dfrac{{6A}}{{10}} = 2,32\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,16A = 23,2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A = 1,45.\)
Ответ: 1 450 000 рублей.