158В (ЕГЭ 2024). В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 27 млн. рублей?
Решение
A = 18 млн рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты, начисленные за год на остаток, и \(\dfrac{A}{n}\). Тогда остаток через год будет \(A-\dfrac{A}{n} = \dfrac{{A \cdot (n-1)}}{n},\) через 2 года \(\dfrac{{A \cdot (n-2)}}{n}\) и так далее.
| Год |
Начисленные % (млн руб) |
Остаток после платежа (млн руб) |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
\(\dfrac{{A(n-1)}}{n}\) |
| 2 |
\(\dfrac{{A(n-1)}}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
\(\dfrac{{A(n-2)}}{n}\) |
| … |
… |
… |
| n |
\(\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
0 |
Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сумма самого кредит A:
\(\dfrac{{A \cdot n}}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + \dfrac{{A \cdot (n-1)}}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + ….. + \dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + A = 27\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot (n + (n-1) + ….. + 1) + A = 27\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{18}}{n} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot \dfrac{{1 + n}}{2} \cdot n + 18 = 27\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{9 \cdot (1 + n)}}{{10}} = 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + n = 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,n = 9.\)
Ответ: 9.