162В (ЕГЭ 2026). 15 января 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:
– 1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
– со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платеж;
– 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;
– 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;
– к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.
Решение
S – кредит млн рублей. Пусть 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшается на x млн рублей. Тогда 15 января 2028 остаток долга составит \(S-x\) млн рублей, 15 января 2029 \(S-2x\) млн рублей. Так как 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года, то он составит \(\dfrac{{50}}{{100}}\left( {S-2x} \right) = \dfrac{S}{2}-x.\) Тогда 15 января 2031 остаток долга составит \(\dfrac{S}{2}-2x\) млн рублей, 15 января 2032 соответственно \(\dfrac{S}{2}-3x = 0\) млн рублей. Из равенства \(\dfrac{S}{2}-3x = 0\) следует, что \(S = 6x.\)
| Год |
Начисленные % (млн руб) |
Остаток (млн руб) |
| 2028 |
\(0,12S\) |
\(S-x\) |
| 2029 |
\(0,12\left( {S-x} \right)\) |
\(S-2x\) |
| 2030 |
\(0,12\left( {S-2x} \right)\) |
\(\dfrac{S}{2}-x\) |
| 2031 |
\(0,12\left( {\dfrac{S}{2}-x} \right)\) |
\(\dfrac{S}{2}-2x\) |
| 2032 |
\(0,12\left( {\dfrac{S}{2}-2x} \right)\) |
\(\dfrac{S}{2}-3x = 0\) |
Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита S и начисленным процентам.
\(0,12S + 0,12\left( {S-x} \right) + 0,12\left( {S-2x} \right) + 0,12\left( {\dfrac{S}{2}-x} \right) + 0,12\left( {\dfrac{S}{2}-x} \right) + S = 4,08\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,12\left( {S + S-x + S-2x + \dfrac{S}{2}-x + \dfrac{S}{2}-2x} \right) + S = 4,08\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,12\left( {4S-6x} \right) + S = 4,08.\)
Так как \(6x = S,\) то последнее равенство примет вид:
\(0,12\left( {4S-S} \right) + S = 4,08\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,36S + S = 4,08\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1,36S = 4,08\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S = 3.\)
Ответ: 3 млн рублей.