165В (ЕГЭ 2026). В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 5 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 50% меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 6,125 млн рублей. Найдите r.
Решение
Так как в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 50% меньше долга на июль предыдущего года, то остаток долга будет составлять \(100\% -50\% = 50\% = \dfrac{{50}}{{100}} = \dfrac{1}{2}\) от долга в предыдущем году. Следовательно, в июле 2029 года долг составит \(\dfrac{1}{2} \cdot 5 = 2,5\) млн рублей, в июле 2030 года \(\dfrac{1}{2} \cdot 2,5 = 1,25\) млн рублей, в июле 2031 года \(\dfrac{1}{2} \cdot 1,25 = 0,625\) млн рублей.
| Год |
Начисленные % (млн руб) |
Остаток (млн руб) |
| 2029 |
\(5 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
2,5 |
| 2030 |
\(2,5 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
1,25 |
| 2031 |
\(1,25 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
0,625 |
| 2032 |
\(0,625 \cdot \dfrac{r}{{100}}\) |
0 |
Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита 5 млн рублей и начисленным процентам.
\(5 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 2,5 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 1,25 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,625 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 5 = 6,125\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}} \cdot \left( {5 + 2,5 + 1,25 + 0,625} \right) = 1,125\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{r}{{100}} \cdot 9,375 = 1,125\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = 12.\)
Ответ: 12.