ЕГЭ Профиль. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 172В (ЕГЭ 2026)

172В (ЕГЭ 2026). Планируется взять кредит на некоторое целое число месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1 числа долг по кредиту возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– с 2 по 14 число необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15 числа каждого месяца долг по кредиту должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если общая сумма выплат по кредиту больше начальной суммы кредита на 30%?

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Пусть A сумма кредита сроком на n месяцев. Так как каждый месяц долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый месяц выплачивает проценты начисленные за месяц на остаток и \(\dfrac{A}{n}\). Тогда остаток через месяц будет\(A-\dfrac{A}{n} = \dfrac{{A \cdot (n-1)}}{n},\) через 2 месяца \(\dfrac{{A \cdot (n-2)}}{n}\) и так далее.

Месяц	Начисленные %	Остаток после платежа
1	\(A \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\)	\(\dfrac{{A(n-1)}}{n}\)
2	\(\dfrac{{A(n-1)}}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\)	\(\dfrac{{A(n-2)}}{n}\)
…	…	…
n	\(\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\)	0

Так как общая сумма выплат по кредиту больше начальной суммы кредита на 30%, то начисленные проценты за n месяцев равны \(\dfrac{{30}}{{100}}A.\)

\(\dfrac{{A \cdot n}}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + \dfrac{{A \cdot (n-1)}}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + ….. + \dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} = A \cdot \dfrac{{30}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{A}{n} \cdot \dfrac{{10}}{{100}} \cdot (n + (n-1) + ….. + 1) = A \cdot \dfrac{{30}}{{100}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{{1 + n}}{2} \cdot n = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1 + n}}{2} = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,n = 5.\)

Ответ: 5.

Мы используем файлы cookie

ЕГЭ Профиль. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 172В (ЕГЭ 2026)