41В. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Ответ

ОТВЕТ: 4 и 1.

Решение

А = 10 млн. рублей – первоначальные вложения.

В конце каждого года вклад увеличивается на 15%, то есть увеличивается в \(\frac{{100 + 15}}{{100}} = 1,15 = t\) раз.

Год Вклад в начале года (в млн. руб) Вклад в конце года (в млн. руб)
1 \(A\) \(At + n\)
2 \(At + n\) \(\left( {At + n} \right)t + n\)
3 \(\left( {At + n} \right)t + n\) \(\left( {\left( {At + n} \right)t + n} \right)t + m\)
4 \(\left( {\left( {At + n} \right)t + n} \right)t + m\) \(\left( {\left( {\left( {At + n} \right)t + n} \right)t + m} \right)t + m\)

В конце второго года вложенные средства как минимум удвоятся:

\(\left( {At + n} \right)t + n \ge 20\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,10 \cdot {1,15^2} + 1,15 \cdot n + n \ge 20\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2,15n \ge 6,775\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,n \ge \frac{{6775}}{{2150}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,n \ge 3\frac{{13}}{{86}}.\)

Так как n наименьшее целое число, то n = 4 млн. рублей.

В конце четвёртого года вложенные средства как минимум утроятся:

\(\left( {\left( {\left( {At + n} \right)t + n} \right)t + m} \right)t + m \ge 30\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,10 \cdot {1,15^4} + 4 \cdot {1,15^3} + 4 \cdot {1,15^2} + 1,15m + m \ge 30\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2,15m \ge 1,1364375\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,m \ge \frac{{11364375}}{{21500000}}.\)

Так как m наименьшее целое, то m = 1 млн. рублей.

Ответ:  n = 4;   m = 1.