48В (ЕГЭ 2024). Пятиугольник ABCDE — вписанный, точка M — пересечение диагоналей BE и AD. Известно, что BCDM — параллелограмм.
а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
б) Найдите AB, если известно, что BE = 12, BC = 5, AD = 9.
Вокруг трапеции BCDE описана окружность, следовательно, она равнобедренная, в которой \(BC = DE.\) Значит, в пятиугольнике ABCDE равны стороны BC и DE. Что и требовалось доказать. б) Так как \(BC\parallel MD,\) то \(AD\parallel BC\) и четырёхугольник ABCD также является равнобедренной трапецией, в которой \(AD = DM + MA > DM = BC\). Пусть \(CD = BM = AB = x.\) Тогда \(EM = 12-x,\) \(BC = MD = 5,\,\,\,\,AM = AD-MD = 9-5 = 4.\) По свойству пересекающихся хорд AD и BC получим: \(BM \cdot ME = AM \cdot MD\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {12-x} \right)x = 4 \cdot 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2}-12x + 20 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2,\\x = 10.\end{array} \right.\) Если \(x = 2,\) то \(ME = 10\) и стороны треугольника MED будут равны 5, 5 и 10, что невозможно, так как сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Следовательно, \(AB = x = 10.\) Ответ: 10.
а) Так как BCDM — параллелограмм, то \(CD\parallel BM\) и \(CD = BM\). Тогда четырёхугольник BCDE является трапецией, так как \(CD\parallel BE\) и \(BE = BM + ME > BM = CD.\)