49В (ЕГЭ 2024). Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4.
а) Докажите, что AC = CE.
б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.
б) Пусть AD пересекается с BE в точке M. Равные хорды BC и DE стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть \(\angle BEC = \angle DCE.\) Следовательно, прямая CD параллельна прямой BE. Аналогично, равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть \(\angle BCA = \angle CAD.\) Следовательно, прямая BC параллельна прямой AD. Значит, четырехугольник BCDM является параллелограммом, поэтому \(DM = BC = 4,\,\,\,\,BM = CD = 3\) и \(AM = AD-MD = 6-4 = 2.\) По свойству пересекающихся хорд AD и BE получим: \(BM \cdot ME = DM \cdot MA\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,3 \cdot ME = 4 \cdot 2\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,ME = \dfrac{8}{3}.\) Следовательно, \(BE = BM + ME = 3 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{{17}}{3}.\) Ответ: \(\dfrac{{17}}{3}\).
а) Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть \(\angle ACB = \angle CED.\) Аналогично, равные хорды BC и DE стягивают дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть \(\angle BAC = \angle DCE.\) Тогда в треугольниках ABC и CDE \(\angle ABC = \angle CDE,\) из чего следует, что треугольники ABC и CDE равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \(AC = CE.\) Что и требовалось доказать.