а) Так как \({3^2} + {2^2} = {\left( {\sqrt {13} } \right)^2},\) то по теореме обратной теореме Пифагора треугольник AKE – прямоугольный с прямым углом при вершине K. Следовательно, угол AKE – прямой.
Пусть \(\angle BAK = \alpha ,\) тогда из прямоугольного треугольника ABK следует, что \(\angle AKB = {90^\circ }-\alpha .\) Значит:
\(\angle CKE = {180^\circ }-\angle AKB-\angle AKE = {180^\circ }-{90^\circ }-\left( {{{90}^\circ }-\alpha } \right) = \alpha .\)
Что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABK и KCE подобны по равным острым углам с коэффициентом подобия k, равным \(k = \dfrac{{KE}}{{AK}} = \dfrac{2}{3}.\) Пусть \(BK = 3x,\,\,\,AB = 3y\), тогда \(CE = 2x,\,\,\,KC = 2y\). Из равенства сторон квадрата AB и BC:
\(3y = 3x + 2y\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,y = 3x.\)
По теореме Пифагора из треугольника ABK:
\(A{B^2} + B{K^2} = A{K^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = {3^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{y^2} = \dfrac{9}{{10}}.\)
Найдем площадь квадрата ABCD:
\({S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {3y} \right)^2} = 9{y^2} = \dfrac{{9 \cdot 9}}{{10}} = 8,1.\)
Ответ: 8,1.