Профиль №17. Многоугольники. Задача 51В (ЕГЭ 2025)

51В (ЕГЭ 2025). Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{120}}{{17}}.\)

Решение

а) Проведём через точку C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AD. Пусть они пересекаются в точке M. Тогда четырёхугольник BCMD является параллелограммом, то есть \(BC = DM.\) Следовательно, \(AM = AD + DM = AD + BC = 17.\) Пусть \(AC = 8,\,\,\,BD = 15 = CM.\) В треугольнике ACM по обратной теореме Пифагора: \(A{C^2} + C{M^2} = {8^2} + {15^2} = {17^2} = A{M^2}.\) Следовательно, треугольник ACM – прямоугольный с прямым углом ACM. Так как \(BD\parallel CM,\) то \(\angle AOD = ACM = {90^ \circ }.\) Что и требовалось доказать.

б) Проведём высоту CH трапеции, которая также будет являться и высотой прямоугольного треугольника ACM, стороны которого \(AC = 8,\,\,\,CM = 15,\,\,\,AM = 17.\) Запишем площадь треугольника ACM:

\({S_{ACM}} = \dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot CH\, = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot CM.\)

Следовательно:

\(AM \cdot CH\, = AC \cdot CM\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,CH = \dfrac{{AC \cdot CM}}{{AM}} = \dfrac{{8 \cdot 15}}{{17}} = \dfrac{{120}}{{17}}.\)

Ответ: \(\dfrac{{120}}{{17}}.\)