а) Проведём высоту трапеции CH и высоту KN треугольника AKD. Так как точка К и E середины сторон AB и AD соответственно, то \(KN = \dfrac{1}{2}CH\) и \(AD = 2ED.\)
\({S_{ECD}} = \dfrac{1}{2} \cdot ED \cdot CH;\)
\({S_{AKD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot KN = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot ED \cdot \dfrac{{CH}}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot ED \cdot CH.\)
Следовательно, \({S_{ECD}} = {S_{AKD}}.\) В свою очередь:
\({S_{AKOE}} = {S_{AKD}}-{S_{EOD}};\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{OCD}} = {S_{ECD}}-{S_{EOD}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{S_{AKOE}} = {S_{OCD}}.\)
Что и требовалось доказать.
б) Пусть \(KD \cap BC = P.\) Так как \(\angle PKB = \angle AKD\) как вертикальные, \(\angle PBA = \angle BAD\) как накрест лежащие и \(BK = AK,\) то \(\Delta PKB = \Delta AKD\) по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, \(PB = AD = 4\) и \(PC = PB + BC = 4 + 3 = 7.\)
\({S_{ABCD}} = {S_{AKD}} + {S_{KBCD}} = {S_{PBK}} + {S_{KBCD}} = {S_{PCD}}.\)
Так как \(\angle EOD = \angle POC\) как вертикальные, \(\angle PCE = \angle DEC\) как накрест лежащие, то \(\Delta EOD \sim \Delta POC\) по двум углам. Тогда:
\(\dfrac{{OD}}{{PO}} = \dfrac{{DE}}{{PC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{OD}}{{PO}} = \dfrac{2}{7}.\)
Следовательно, \(\dfrac{{OD}}{{PD}} = \dfrac{2}{9}.\) Значит \(\dfrac{{{S_{COD}}}}{{{S_{PCD}}}} = \dfrac{2}{9}.\)
Так как \({S_{AKOE}} = {S_{OCD}}\) и \({S_{ABCD}} = {S_{PCD}},\) то \(\dfrac{{{S_{AKOE}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{2}{9}.\)
Ответ: 2 : 9.