а) Пусть \(AM = MN = NC = x\) (см. рис. 1). Так как ABCD ромб, то \(AD\parallel BC\) и \(AB\parallel CD.\) Тогда \(\Delta APM \sim \Delta BMC\) по двум углам: \(\angle MAP = \angle MCB\) как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC, \(\angle AMP = \angle BMC\) как вертикальные. Следовательно:
\(\dfrac{{AP}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{AM}}{{MN + NC}} = \dfrac{x}{{x + x}} = \dfrac{x}{{2x}} = \dfrac{1}{2}.\)
Значит \(AP = \dfrac{1}{2}BC,\) а так как \(BC = AD,\) то \(AP = \dfrac{1}{2}AD.\) Следовательно, точка P середина AD.
Аналогично \(\Delta QNC \sim \Delta ANB\) по двум углам: \(\angle ACQ = \angle CAB\) как накрест лежащие при параллельных прямых DC и AB, \(\angle QNC = \angle ANB\) как вертикальные. Следовательно:
\(\dfrac{{QC}}{{AB}} = \dfrac{{NC}}{{AN}} = \dfrac{{NC}}{{AM + MN}} = \dfrac{x}{{x + x}} = \dfrac{x}{{2x}} = \dfrac{1}{2}.\)
Значит \(QC = \dfrac{1}{2}AB,\) а так как \(AB = DC,\) то \(QC = \dfrac{1}{2}DC.\) Следовательно, точка Q середина DC.
Пусть \({S_{ABCD}} = S.\) Тогда \({S_{ABD}} = {S_{BDC}} = \dfrac{S}{2},\) так как диагональ BD делит ромб, на два равных треугольника. В треугольниках ADB и CDB отрезки BP и BQ являются медианами. Значит:
\({S_{DPB}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABD}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{S}{2} = \dfrac{S}{4};\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{BDQ}} = \dfrac{1}{2}{S_{CBD}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{S}{2} = \dfrac{S}{4}.\)
Тогда:
\({S_{BPDQ}} = {S_{DPB}} + {S_{BDQ}} = \dfrac{S}{4} + \dfrac{S}{4} = \dfrac{S}{2}.\)
В свою очередь \({S_{ADC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{S}{2},\) так как диагональ AC разбивает ромб на два равных треугольника. Следовательно, \({S_{BPDQ}} = {S_{ADC}}.\) Что и требовалось доказать.
б) Так как точки P и M середины сторон AD и AN соответственно, то отрезок PM является средней линией треугольника AND (см. рис. 2). Значит \(PM\parallel DN\) (при этом \(PM \ne DN\)) и четырёхугольник MPDN является трапецией. Так как около пятиугольника MNQDP можно описать окружность, то около трапеции MPDN описана эта же окружность. Следовательно, она является равнобедренной и \(PD = MN.\) Так как \(AC = 2\sqrt 3 \), то \(NM = \dfrac{{AC}}{3} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} = PD.\) Тогда \(AD = 2PD = 2 \cdot \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}.\) Диагонали ромба пересекаются в точке О под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Тогда \(AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) и по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADO:
\(A{O^2} + D{O^2} = A{D^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,DO = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}-{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{48}}{9}-3} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}.\)
Следовательно, \(BD = 2DO = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}.\)
Ответ: \(\dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}.\)