а) Пусть \(AC \cap BD = O.\) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки DO и AK медианы треугольника ACD, которые точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1. Пусть \(OT = x,\,\,\,\,KT = y,\) тогда \(DT = 2x,\,\,\,\,AT = 2y.\) Пусть \({S_{AOT}} = S.\) Треугольники AOT и ADT имеют общую высоту из вершины A, тогда их площади относятся как длины оснований, к которым проведена эта высота. Следовательно:
\(\dfrac{{{S_{ADT}}}}{{{S_{AOT}}}} = \dfrac{{TD}}{{TO}} = \dfrac{{2x}}{x} = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{S_{ADT}} = 2{S_{AOT}} = 2S.\)
Треугольники DKT и ADT имеют общую высоту из вершины D, тогда их площади относятся как длины оснований, к которым проведена эта высота. Следовательно:
\(\dfrac{{{S_{DKT}}}}{{{S_{ADT}}}} = \dfrac{{TK}}{{TA}} = \dfrac{y}{{2y}} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{S_{DKT}} = \dfrac{{{S_{ADT}}}}{2} = \dfrac{{2S}}{2} = S.\)
Аналогично, рассматривая треугольник ABC, можно показать, что \({S_{AOQ}} = {S_{BPQ}} = S.\)
Следовательно: \({S_{DKT}} + {S_{QBP}} = S + S = 2S\) и \({S_{AQT}} = {S_{AOT}} + {S_{AOQ}} = S + S = 2S.\) Что и требовалось доказать.
б) По условию в пятиугольник TKCPQ можно вписать окружность. Значит в четырёхугольник TBCK вписана эта же окружность, так как точка B является пересечением продолжений сторон пятиугольника QT и CP. В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны. Следовательно:
\(BT + CK = KT + BC\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4x + 3\sqrt 5 = y + 6\sqrt 5 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = 4x-3\sqrt 5 .\)
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCO:
\(C{O^2} + B{O^2} = B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,C{O^2} = {\left( {6\sqrt 5 } \right)^2}-{\left( {3x} \right)^2}.\)
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOQ:
\(A{O^2} + O{Q^2} = A{Q^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A{O^2} = {\left( {2y} \right)^2}-{x^2}.\)
Так как \(AO = CO,\) то:
\(180-9{x^2} = 4{y^2}-{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{y^2} = 45-2{x^2}.\)
Учитывая, что \(y = 4x-3\sqrt 5 \), получим:
\({\left( {4x-3\sqrt 5 } \right)^2} = 45-2{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,16{x^2}-24\sqrt 5 x + 45 = 45-2{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,18{x^2} = 24\sqrt 5 x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}.\end{array} \right.\)
Корень \(x = 0\) не подходит. Следовательно, \(x = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}\) и \(BD = 6x = 6 \cdot \dfrac{{4\sqrt 5 }}{3} = 8\sqrt 5 .\)
Окружность вписанная в пятиугольник TKCPQ также вписана в треугольник CBD. Найдём площадь треугольника CBD:
\({S_{CBD}} = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot CO = \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt 5 \cdot \sqrt {180-9{x^2}} = 4\sqrt 5 \cdot \sqrt {180-9 \cdot {{\left( {\dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}} = 4\sqrt 5 \cdot 10 = 40\sqrt 5 .\)
Найдём полупериметр треугольника CBD:
\({p_{CBD}} = \dfrac{{BC + CD + DB}}{2} = \dfrac{{6\sqrt 5 + 6\sqrt 5 + 8\sqrt 5 }}{2} = 10\sqrt 5 .\)
Следовательно, радиус искомой окружности: \(r = \dfrac{{{S_{CBD}}}}{{{p_{CBD}}}} = \dfrac{{40\sqrt 5 }}{{10\sqrt 5 }} = 4.\)
Ответ: 4.