57В (ЕГЭ 2025). На стороне AB и диагонали AC квадрата ABCD отмечены точки M и N соответственно, при этом \(AM:MB = 1:10,\) \(AN:NC = 6:5.\)
а) Докажите, что точки A, M, N, D лежат на одной окружности.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырехугольника AMND до прямой MN, если сторона квадрата равна 132.
\(\sin \angle NCK = \dfrac{{NK}}{{NC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {45^ \circ } = \dfrac{{NK}}{{5x\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{NK}}{{5x\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,NK = 5x = CK.\) \(PN = PK-NK = 11x-5x = 6x.\) Треугольник APN является прямоугольным и равнобедренным, так как \(\angle PAN = {45^ \circ }.\) Значит \(AP = PN = 6x,\) \(MP = AP-AM = 6x-x = 5x.\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MPN: \(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MN = \sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2} + {{\left( {6x} \right)}^2}} = x\sqrt {61} .\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника NKD: \(N{D^2} = N{K^2} + K{D^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MN = \sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2} + {{\left( {6x} \right)}^2}} = x\sqrt {61} .\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MAD: \(M{D^2} = A{M^2} + A{D^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MD = \sqrt {{x^2} + {{\left( {11x} \right)}^2}} = x\sqrt {122} .\) Так как \({\left( {x\sqrt {61} } \right)^2} + {\left( {x\sqrt {61} } \right)^2} = {\left( {x\sqrt {122} } \right)^2},\) то есть \(M{N^2} + N{D^2} = M{D^2},\) то по теореме обратной теореме Пифагора треугольник MND прямоугольный с прямым углом MND. Таким образом, в четырёхугольнике AMND \(\angle MAD + \angle MND = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }.\) Следовательно, вокруг четырёхугольника AMND можно описать окружность и точки A, M, N, D лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать. б) Пусть \(AN \cap DM = O\) и OH – расстояние от точки O до прямой MN. \(\Delta AMO \sim \Delta OCD\) по двум углам (\(\angle MAO = \angle OCD\) как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и \(\angle AOM = \angle DOC\) как вертикальные). Тогда: \(\dfrac{{MO}}{{OD}} = \dfrac{{AM}}{{CD}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{MO}}{{OD}} = \dfrac{x}{{11x}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,OD = 11MO.\) Пусть \(MO = y,\) тогда \(OD = 11y,\) а \(MD = MO + OD = y + 11y = 12y.\) Прямоугольные треугольники MHO и MND подобны (имеют общий угол DMN). Тогда: \(\dfrac{{HO}}{{ND}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{HO}}{{x\sqrt {61} }} = \dfrac{y}{{12y}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,HO = \dfrac{{x\sqrt {61} }}{{12}}.\) Так как по условию сторона квадрата равна 132, то: \(11x = 132\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 12.\) Следовательно: \(HO = \dfrac{{x\sqrt {61} }}{{12}} = \dfrac{{12 \cdot \sqrt {61} }}{{12}} = \sqrt {61} .\) Ответ: \(\sqrt {61} .\)
а) Пусть \(AB = 11x.\) Тогда: \(AM = x,\) \(BM = 10x,\) \(AC = AB\sqrt 2 = 11x\sqrt 2 ,\) \(AN = 6x\sqrt 2 ,\) \(NC = 5x\sqrt 2 .\) Проведём через точку N прямую параллельную стороне квадрата BC, которая пересекает AB и CD в точках P и K соответственно. Диагональ квадрата AC является биссектрисой угла BCD. Значит \(\angle NCK = {45^ \circ }\) и прямоугольный треугольник NCK является равнобедренным. Тогда: