а) Пусть \(BN \cap CM = {K_1},\) \(BN \cap AD = P,\) \(AM = MD = x,\) \(DC = 6x,\) \(DN = 2x,\) \(NC = 4x.\) Необходимо доказать, что точка K1 середина MC (см. рис. 1). Прямоугольные треугольники PDN и BCN подобны (\(\angle DNP = \angle CNB\) как вертикальные). Тогда:
\(\dfrac{{DP}}{{BC}} = \dfrac{{DN}}{{NC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{DP}}{{2x}} = \dfrac{{2x}}{{4x}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,DP = x.\)
Значит \(MP = MD + DP = x + x = 2x.\)
\(\Delta MP{K_1} = \Delta CB{K_1}\) по стороне и двум прилежащим углам (\(MP = BC = 2x,\) \(\angle MP{K_1} = \angle CB{K_1},\) \(\angle PM{K_1} = \angle BC{K_1}\) как накрест лежащие при параллельных прямых AP и BC). Следовательно, \(M{K_1} = C{K_1}\) и точка K1 является серединой MC. Следовательно, BN пересекает отрезок MC в его середине, а значит точка K1 и есть точка K. Тогда точки B, N и K лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
б) Из подобия треугольников PDN и BCN (см. пункт а) следует, что:
\(\dfrac{{PN}}{{NB}} = \dfrac{{DN}}{{NC}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{PN}}{{NB}} = \dfrac{{2x}}{{4x}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,NB = 2PN.\)
Пусть \(PN = 2y,\) тогда \(NB = 4y,\) \(PB = 6y\) (см. рис. 2). Так как \(\Delta MPK = \Delta CBK\) (см. пункт а), то \(PK = KB = \dfrac{{PB}}{2} = \dfrac{{6y}}{2} = 3y.\)
Тогда \(NK = PK-PN = 3y-2y = y,\) то есть \(NK = \dfrac{1}{6}PB.\)
Так как по условию \(AD = 4\sqrt 5 ,\) то \(AB = 3AD = 12\sqrt 5 ,\) \(AP = AD + DP = 4\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 6\sqrt 5 .\)
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PAB:
\(P{B^2} = A{P^2} + A{B^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,PB = \sqrt {{{\left( {6\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {12\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {{6^2}\left( {5 + 20} \right)} = 30.\)
Следовательно, \(NK = \dfrac{1}{6}PB = \dfrac{1}{6} \cdot 30 = 5.\)
Ответ: 5.