ЕГЭ Профиль. Отношение отрезков и площадей. Задача 1В

ОТВЕТ: \(1:1.\)

а) Пусть \(DP \cap AB = K.\) Треугольники BPC и APM подобны по двум углам ( \(\angle PBC = \angle PMA,\) \(\angle PCB = \angle PAM\) как накрест лежащие), причём

\(\dfrac{{BP}}{{PM}} = \dfrac{{BC}}{{AM}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{BP}}{{PM}} = \dfrac{{2AM}}{{AM}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{BP}}{{PM}} = \dfrac{2}{1}.\)

Запишем теорему Менелая для треугольника ABM и прямой KD:

\(\dfrac{{AK}}{{KB}} \cdot \dfrac{{BP}}{{PM}} \cdot \dfrac{{MD}}{{DA}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{AK}}{{KB}} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{{MD}}{{2MD}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{AK}}{{KB}} = 1.\)

Следовательно, точка K – середина стороны AB. Что и требовалось доказать.

б) Пусть \(AB = 2y,\) тогда \(AC = 6y.\) Из подобия треугольников BPC и APM следует, что \(\dfrac{{PC}}{{PA}} = \dfrac{2}{1}\) (см. пункт а). Тогда \(PC = 4y,\,\,\,PA = 2y\) и треугольник ABP – равнобедренный. Следовательно, его биссектриса AQ является медианой и \(BQ = QP.\) Так как \(\dfrac{{BP}}{{PM}} = \dfrac{2}{1}\) (см. пункт а), то \(BQ = QP = PM.\) Следовательно, \(PM:BQ = 1:1.\)

Ответ: \(1:1.\)