а) Пусть \(BE = x\), тогда \(EC = 2x;\,\,\,BC = 3x\).
Пусть \(AB = 2y\), тогда \(AD = DB = y\). Через точку C проведём прямую параллельную стороне AB, которая пересекается с AE в точке T.
Треугольники ABE и CTE подобны по двум углам (\(\angle BEA = \angle TEC\) – как вертикальные; \(\angle BAE = \angle ETC\) – как накрест лежащие).
Тогда:
\(\dfrac{{AB}}{{TC}} = \dfrac{{BE}}{{EC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2y}}{{TC}} = \dfrac{x}{{2x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,TC = 4y.\)
Треугольники ADO и OTC подобны по двум углам (\(\angle DOA = \angle TOC\) – как вертикальные; \(\angle DAO = \angle OTC\) – как накрест лежащие).
Тогда:
\(\dfrac{{OC}}{{CT}} = \dfrac{{OD}}{{AD}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{4}{{4y}} = \dfrac{{OD}}{y}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OD = 1.\)
Таким образом, \(CD = CO + OD = 4 + 1 = 5 = AE\). Что и требовалось доказать.
б) \(\angle DOA = {180^\circ }-\angle AOC = {60^\circ }\).
Из подобия треугольников ABE и CTE:
\(TE = 2 \cdot AE = 10\); \(AT = AE + TE = 15\).
Из подобия треугольников ADO и OTC:
\(TO = 4 \cdot AO\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,AO = \dfrac{1}{5} \cdot AT = 3\).
Из треугольника ADO по теореме косинусов:
\(A{D^2} = A{O^2} + D{O^2}-2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos {60^ \circ }\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{D^2} = 9 + 1-2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} = 7\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,AD = \sqrt 7 .\)
Из условия задачи \(AB = 2 \cdot AD\), следовательно, \(AB = 2\sqrt 7 \).
Ответ: \(2\sqrt 7 \).