а) По условию задачи \(CK = KD;\) \(BK = BD;\)\(\angle ACK = \angle KCB.\)
Пусть \(\angle ACK = \angle KCB = {\rm{\alpha }}\), тогда \(\angle ACB = 2{\rm{\alpha }}\).
Так как треугольник CKD равнобедренный, то \(\angle KCD = \angle KDC = {\rm{\alpha }}\).
Так как треугольник BKD равнобедренный, то \(\angle BDK = \angle BKD = {\rm{\alpha }}\).
\(\angle ABC\) – внешний угол треугольника BKD. Таким образом, \(\angle ABC = \angle BDK + \angle BKD = 2{\rm{\alpha }} = \angle ACB\). Из этого следует, что треугольник ABC – равнобедренный. Что и требовалось доказать.
б) Проведём в треугольнике ABC высоту AH, которая будет являться биссектрисой и медианой. Пусть \(DK \cap AC = M.\)
\(\angle CAH = \dfrac{1}{2}\angle BAC = \arcsin \dfrac{1}{8}\). Тогда \(\sin \angle CAH = \cos \angle ACH = \dfrac{1}{8}\). Из прямоугольного треугольника ACH: \(\cos \angle ACH = \dfrac{{CH}}{{AC}} = \dfrac{1}{8}.\) Пусть \(CH = BH = x,\) тогда \(AC = AB = 8x.\)
Так как CK биссектриса, то: \(\dfrac{{AK}}{{KB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{8x}}{{2x}} = 4.\)
Следовательно, \(KB = \dfrac{1}{5}AB = \dfrac{{8x}}{5} = BD\), \(CD = CB + BD = 2x + \dfrac{{8x}}{5} = \dfrac{{18x}}{5}\) и \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{8x}}{5}:\dfrac{{18x}}{5} = \dfrac{4}{9}.\)
По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей DM:
\(\dfrac{{CM}}{{MA}} \cdot \dfrac{{AK}}{{KB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DC}} = 1\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{CM}}{{MA}} \cdot \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{4}{9} = 1\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{CM}}{{MA}} = \dfrac{{16}}{9}.\)
Ответ: 16 : 9.