ЕГЭ Профиль. Отношение отрезков и площадей. Задача 2В

ОТВЕТ: \(5:1.\)

а) В треугольнике ABC \(\angle ABC = {60^ \circ }.\) Так как треугольник BCD равносторонний, то \(\angle BCD = {60^ \circ }.\) Следовательно, \(AB\parallel CD.\) Пусть \(CB = CD = x.\) Тогда по определению синуса из треугольника ABC:

\(\sin {30^ \circ } = \dfrac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = 2x.\)

Треугольники CKD и AKB подобны по двум углам (\(\angle CDA = \angle DAB,\) \(\angle DCB = \angle CBA\) как накрест лежащие). Следовательно:

\(\dfrac{{CK}}{{KB}} = \dfrac{{CD}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{CK}}{{KB}} = \dfrac{x}{{2x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{CK}}{{KB}} = \dfrac{1}{2}.\)

Что и требовалось доказать.

б) Так как \(AB\parallel CD,\) то прямая, проходящая через точку K перпендикулярно CD, будет перпендикулярна к AB. Пусть эта прямая пересекает AB в точке M. Из пункта а, следует: \(KB = \dfrac{2}{3}x.\) По определению косинуса из треугольника KMB:

\(\cos {60^ \circ } = \dfrac{{MB}}{{KB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{{MB}}{{\dfrac{2}{3}x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MB = \dfrac{x}{3}.\)

Тогда: \(AM = AB-MB = 2x-\dfrac{x}{3} = \dfrac{{5x}}{3}\) и \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{3}x}}{{\dfrac{x}{3}}} = \dfrac{5}{1}.\)

Ответ: \(5:1.\)