а) По условию задачи \(AE = ED,\)\(AM = MB.\) Проведём высоты трапеции BT и CK, а также высоту MH треугольника AMD.
\({S_{AMD}} = \dfrac{1}{2} \cdot MH \cdot AD;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{CED}} = \dfrac{1}{2} \cdot CK \cdot ED.\)
Так как \(AM = MB\) и \(MH\parallel BT,\) то MH является средней линией треугольника ABT и \(MH = \dfrac{1}{2}BT = \dfrac{1}{2}CK.\) Так как \(AE = ED,\) то \(AD = 2ED.\) Тогда:
\({S_{AMD}} = \dfrac{1}{2} \cdot MH \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{CK}}{2} \cdot 2ED = \dfrac{1}{2} \cdot CK \cdot ED = {S_{CED}}.\)
\({S_{AMOE}} = {S_{AMD}}-{S_{EOD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
\({S_{COD}} = {S_{CED}}-{S_{EOD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Так как \({S_{AMD}} = {S_{CED}},\) то из равенств (1) и (2) следует, что \({S_{AMOE}} = {S_{COD}}.\)
Что и требовалось доказать.
б) \(AE = ED = 2;\,\,\,BC = 3\).
\({S_{ABCD}} = \dfrac{{BC + AD}}{2} \cdot CK = \dfrac{{3 + 4}}{2} \cdot CK = \dfrac{7}{2}CK\).
\({S_{CED}} = \dfrac{1}{2} \cdot ED \cdot CK = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot CK = CK\). Из этого следует, что \({S_{CED}} = \dfrac{2}{7} \cdot {S_{ABCD}}\).
Пусть \(BC \cap DM = P.\) Треугольники AMD и PMB равны по 2 признаку (\(AM = MB\), \(\angle AMD = \angle PMB\) – как вертикальные; \(\angle PBM = \angle MAD\) – как накрест лежащие). Следовательно, \(PB = AD = 4.\)
Треугольники EOD и POC подобны по двум углам (\(\angle EOD = \angle POC\) – как вертикальные, \(\angle PCO = \angle OED\) – как накрест лежащие).
Из подобия следует, что \(\dfrac{{CO}}{{OE}} = \dfrac{{PC}}{{ED}} = \dfrac{7}{2}.\) Тогда \(\dfrac{{CO}}{{CE}} = \dfrac{7}{9}\).
Следовательно: \({S_{COD}} = {S_{CED}} \cdot \dfrac{{CO}}{{CE}} = \dfrac{2}{7} \cdot {S_{ABCD}} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{2}{9} \cdot {S_{ABCD}}\).
Таким образом: \(\dfrac{{{S_{AMOE}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{COD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{2}{9} \cdot {S_{ABCD}} \cdot \dfrac{1}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{2}{9}\).
Ответ: 2:9.