а) По условию задачи \(\dfrac{{AK}}{{KB}} = \dfrac{{BL}}{{LC}} = \dfrac{{CM}}{{MD}} = \dfrac{{DN}}{{NA}}\).
Так как \(\dfrac{{AK}}{{KB}} = \dfrac{{CM}}{{MD}}\) и \(AB = CD\), то \(AK = CM;\,\,\,KB = MD\).
Аналогично \(\dfrac{{BL}}{{LC}} = \dfrac{{DN}}{{NA}}\) и \(BC = AD\), то \(AN = CL;\,\,\,\,BL = ND\).
Следовательно, треугольники KAN и MCL равны по 1 признаку \(\left( {AN = CL;\,\,\,\,AK = CM;\,\,\,\,\angle KAN = \angle LCM} \right)\). Тогда \(KN = ML;\,\,\,\angle ANK = \angle CLM\).
\(\angle ANL = \angle CLN\) – как накрест лежащие. Тогда \(\angle KNL = \angle MLN\).
Из этого следует, что \(KN\parallel ML;\,\,\,KN = ML\). Таким образом четырехугольник KLMN является параллелограммом.
Треугольники AON и COL равны по 2 признаку: \(AN = LC,\) \(\angle ANO = \angle CLO\) и\(\angle NAO = \angle LCO\) – как накрест лежащие.
Следовательно, \(AO = OC;\,\,\,\,NO = OL\). Тогда O является серединой диагонали AC. Из этого следует, что O также является центром параллелограмма ABCD.
Аналогично O является серединой диагонали LN, из чего следует, что точка O также является центром параллелограмма KLMN. Что и требовалось доказать.
б) \(\dfrac{{AK}}{{KB}} = \dfrac{{CM}}{{MD}} = \dfrac{{BL}}{{LC}} = \dfrac{{DN}}{{NA}} = 2\).
Пусть \({S_{ABCD}} = S\). Тогда \({S_{ABC}} = {S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{S}{2}\).
\(\dfrac{{{S_{KBL}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{BL}}{{BC}} \cdot \dfrac{{BK}}{{BA}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{S_{KBL}} = \dfrac{2}{9}{S_{ABC}} = \dfrac{S}{9} = {S_{NMD}}.\)
Аналогично \(\dfrac{{{S_{AKN}}}}{{{S_{ABD}}}} = \dfrac{{AK}}{{AB}} \cdot \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{S_{AKN}} = \dfrac{2}{9}{S_{ABD}} = \dfrac{S}{9} = {S_{LMC}}.\).
Тогда: \({S_{KLMN}} = {S_{ABCD}}-4 \cdot \dfrac{S}{9} = S-\dfrac{{4S}}{9} = \dfrac{{5S}}{9}.\)
Следовательно, \(\dfrac{{{S_{KLMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{5S}}{9} \cdot \dfrac{1}{S} = \dfrac{5}{9}\).
Ответ: 5:9.