а) Четырёхугольник CMHE вписанный, так как \(\angle MCE + \angle MHE = {180^ \circ }.\) Тогда \(\angle MHC = \angle MEC,\) так как опираются на сторону MC. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \(\angle MEC = \angle MKE.\) Следовательно, \(\angle MHC = \angle MKE.\) Это соответственные углы при прямых CH и EK и секущей MK, а значит, \(CH\parallel EK.\) Что и требовалось доказать.
б) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{{15}^2} + {8^2}} = 17.\)
Найдём радиус окружности, вписанной в треугольник ABC:
\(r = \dfrac{{AC + BC-AB}}{2} = \dfrac{{15 + 8-17}}{2} = 3.\)
Заметим, что \(CE = CM = r = 3.\) Тогда \(BE = BC-CE = 8-3 = 5,\) \(AM = AC-CM = 15-3 = 12.\) Отрезки \(AM = AK = 12\) и \(BE = BK = 5\) как касательные к окружности.
Пусть \(KM \cap BC = P.\) По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой MK:
\(\dfrac{{BK}}{{KA}} \cdot \dfrac{{AM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CP}}{{PB}} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{5}{{12}} \cdot \dfrac{{12}}{3} \cdot \dfrac{{CP}}{{CP + CB}} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{CP}}{{CP + 8}} = \dfrac{3}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,CP = 12.\)
Треугольники PHC и PKE подобны по двум углам: \(\angle P\) – общий, \(\angle PHC = \angle PKE.\)
Тогда:
\(\dfrac{{HC}}{{KE}} = \dfrac{{PC}}{{PE}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{HC}}{{KE}} = \dfrac{{12}}{{12 + 3}} = \dfrac{{12}}{{15}} = \dfrac{4}{5}.\)
Ответ: 4 : 5.