ЕГЭ Профиль. Отношение отрезков и площадей. Задача 7В

ОТВЕТ: 3:1.

а) Пусть RO и NO – серединные перпендикуляры к отрезкам AE и EC соответственно.

Так как RO – серединный перпендикуляр треугольника AEO, то он является равнобедренным. Следовательно, \(AO = EO\).

Так как NO – серединный перпендикуляр треугольника EOC, то он также является равнобедренным. Следовательно,\(OE = OC\). Тогда \(AO = OE = OC\) и точка O является центром окружности, описанной около треугольника AEC.

Тогда \(\angle AOE\) является центральным углом, опирающимся на дугу AE, а \(\angle ACE = {45^ \circ }\) является вписанным углом, опирающимся на эту же дугу. Поэтому \(\angle AOE = 2 \cdot \angle ACE = 2 \cdot {45^\circ } = {90^\circ }\). Что и требовалось доказать.

б) В любом треугольнике серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке. Следовательно, серединный перпендикуляр к стороне AC в треугольнике ACE также проходит через точку O. В то же время серединным перпендикуляром к диагонали АС квадрата ABCD является прямая, содержащая его вторую диагональ BD. Поэтому точку O лежит на диагонали BD.

Пусть \(BE = EC = 2x\). Тогда \(EN = NC = x\).

Так как \(ON\parallel CD\), то по теореме о пропорциональных отрезках:

\(\dfrac{{BO}}{{OD}} = \dfrac{{BN}}{{NC}} = \dfrac{{BE + EN}}{{NC}} = \dfrac{{2x + x}}{x} = \dfrac{{3x}}{x} = \dfrac{3}{1}.\)

Ответ: 3:1.