а) По условию задачи:
\(\dfrac{{DM}}{{AM}} = \dfrac{{CN}}{{BN}} = \dfrac{{BK}}{{AK}} = \dfrac{{CL}}{{LD}} = \dfrac{1}{2}\).
Из соотношения \(\dfrac{{BK}}{{AK}} = \dfrac{{DM}}{{AM}}\) следует, что \(\dfrac{{AB}}{{AK}} = \dfrac{{AD}}{{AM}}.\)
Значит треугольники AKM и ABD подобны и \(\angle AKM = \angle ABD.\) Следовательно,\(KM\parallel BD\).
Аналогично из соотношения \(\dfrac{{BN}}{{CN}} = \dfrac{{LD}}{{CL}}\) следует, что \(\dfrac{{BC}}{{CN}} = \dfrac{{DC}}{{CL}}\).
Значит треугольники CNL и CBD подобны \(\angle CNL = \angle CBD.\) Следовательно, \(NL\parallel BD.\)
Так как \(KM\parallel BD\) и \(NL\parallel BD\), то \(NL\parallel KM\). Так как
\(\dfrac{{NL}}{{BD}} = \dfrac{{CN}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{NL}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,NL = \dfrac{1}{3}BD,\)
а
\(\dfrac{{KM}}{{BD}} = \dfrac{{AK}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{KM}}{{BD}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,KM = \dfrac{2}{3}BD,\)
то \(NL \ne KM.\) Следовательно, четырехугольник KNLM является трапецией. Что и требовалось доказать.
б) Пусть \(CN = x\), тогда \(BN = 2x\), \(AD = 3 \cdot BC = 3 \cdot \left( {CN + BN} \right) = 3 \cdot 3x = 9x\).
Тогда \(AM = 6x\), а \(MD = 3x\).
Из условия задачи нам известно, что K и L делят боковые стороны AB и CD трапеции ABCD в равном отношении. Следовательно, прямые KL и AD параллельны.
Пусть точка О будет точкой пересечения прямых KL и BD. Точка R и P – точки пересечения отрезков KN и LM с прямой BD.
Треугольники OLD и BCD подобны и \(\dfrac{{LD}}{{CD}} = \dfrac{2}{3}.\)
Из подобия треугольников OLD и BCD следует: \(\dfrac{{LD}}{{CD}} = \dfrac{{OL}}{{BC}} = \dfrac{2}{3}\). Следовательно, \(OL = 2x\).
Треугольники OLR и RMD подобны по 2 углам (\(\angle OLR = \angle RMD\) – как накрест лежащие; \(\angle MRD = \angle LRO\)– как вертикальные).
Из этого следует, что: \(\dfrac{{RL}}{{RM}} = \dfrac{{OL}}{{MD}} = \dfrac{{2x}}{{3x}} = \dfrac{2}{3}\). Аналогично \(\dfrac{{NP}}{{PK}} = \dfrac{2}{3}\).
Ответ: 2:3.