ЕГЭ Профиль. Окружности. Задача 16В

ОТВЕТ: \(3\sqrt {13} \).

а) Так как \(AO = OB\), как радиусы, то треугольник AOB равнобедренный.

Так как \(\angle AMO\) опирается на диаметр AO, то \(\angle AMO = {90^\circ }\). Из этого следует, что OM – высота, биссектриса и медиана треугольника AOB. Следовательно, точка M – середина AB. Что и требовалось доказать.

б) Так как \(\angle AHO\) опирается на диаметр AO, то \(\angle AHO = {90^\circ }\). Тогда искомое расстояние – OH. По условию \(AO = 13,\) \(OM = 5.\) Из треугольника AMO по теореме Пифагора:

\(A{M^2} + O{M^2} = A{O^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AM = \sqrt {{{13}^2}-{5^2}} \, = 12.\)

\(PM = PO-OM = 13-5 = 8\).

Из треугольника APM по теореме Пифагора:

\(A{P^2} = A{M^2} + M{P^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,AP = \sqrt {{{12}^2} + {8^2}} = 4\sqrt {13} .\)

Треугольник APO равнобедренный (\(OA = OP\) как радиусы). Тогда OH является высотой и медианой и \(AH = \dfrac{{AP}}{2} = \dfrac{{4\sqrt {13} }}{2} = 2\sqrt {13} .\)

Из треугольника AHO по теореме Пифагора:

\(A{O^2} = A{H^2} + O{H^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,OH = \sqrt {{{13}^2}-{{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}} = 3\sqrt {13} .\)

Ответ: \(3\sqrt {13} \).