а) \({O_1}A = {O_1}B\) как радиусы. Следовательно, треугольник \({O_1}AB\) равнобедренный. Тогда \(\angle {O_1}BA = \angle {O_1}AB\).
Аналогично, \({O_2}A = {O_2}C\) как радиусы. Следовательно, треугольник \({O_2}AC\) равнобедренный. Тогда \(\angle {O_2}AC = \angle {O_2}CA\).
\(\angle {O_1}AB = \angle {O_2}AC\) как вертикальные. Тогда \(\angle {O_1}BA = \angle {O_2}CA\). Из этого следует, что \({O_1}B\parallel {O_2}C\). Что и требовалось доказать.
б) Пусть K и H – проекции точек O1 и B соответственно на прямую CO2. Так как \({O_1}B\parallel HK\), то четырёхугольник\(B{O_1}KH\) является прямоугольником и \(BH = {O_1}K\).
Так как \(\angle AB{O_1} = {15^ \circ },\) то \(\angle BA{O_1} = {15^ \circ },\) и тогда \(\angle A{O_1}B = {150^ \circ },\) \(\angle {O_2}{O_1}K = \angle {O_2}{O_1}B-\angle K{O_1}B = {150^ \circ }-{90^ \circ } = {60^ \circ }.\)
\({O_1}{O_2} = {O_1}A + {O_2}A = 5 + 8 = 13.\)
Из треугольника O1O2K по определению косинуса:
\(\cos \angle {O_2}{O_1}K = \dfrac{{{O_1}K}}{{{O_1}{O_2}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos {60^ \circ } = \dfrac{{{O_1}K}}{{13}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{{{O_1}K}}{{13}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{O_1}K = \dfrac{{13}}{2}.\)
Тогда: \(BH = {O_1}K = \dfrac{{13}}{2}.\)
Следовательно,
\({S_{BC{O_2}}} = \dfrac{1}{2} \cdot C{O_2} \cdot BH = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \dfrac{{13}}{2} = 26.\)
Ответ: 26.