а) \(KN = NB\) как касательные к окружности с центром \({O_1}\).
\(KN = AN\) как касательные к окружности с центром \({O_2}\).
Таким образом, в треугольнике AKB медиана KN равна половине стороны AB, к которой она проведена. Следовательно, \(\angle AKB = {90^\circ }.\) Тогда \(\angle DKA = \angle CKB = {90^\circ }\).
Из этого следует, что DA и CB – диаметры окружностей с центрами \({O_2}\) и \({O_1}\) соответственно.
Таким образом, радиусы O2A и O1B перпендикулярны прямой AB. Следовательно, \(DA\parallel CB\). Что и требовалось доказать.
б) \({O_1}{O_2} = K{O_2} + K{O_1} = 5\). Пусть H проекция точки O1 на AD.
Тогда: \(AH = {O_1}B = 1;\,\,\,\,{O_2}H = {O_2}A-AH = 3\).
Из треугольника \({O_1}{O_2}H\):
\({O_1}H = \sqrt {{O_1}{O_2}^2-{O_2}{H^2}} = \sqrt {{5^2}-{3^2}} = 4 = AB\).
Из треугольника ADB:
\(BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {{8^2} + {4^2}} = 4\sqrt 5 \).
Пусть P проекция точки C на AD. Следовательно, \(CP = AB = 4,\) \(DP = AD-CB = 8-2 = 6.\)
Тогда из треугольника CPD:
\(CD = \sqrt {P{D^2} + C{P^2}} = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} .\)
\({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.\)
Воспользуемся формулой площади треугольника \(S = \dfrac{{a \cdot b \cdot c}}{{4R}},\) где a, b и c –стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности этого треугольника.
\({S_{BCD}} = \dfrac{{DB \cdot DC \cdot CB}}{{4R}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,R = \dfrac{{4\sqrt 5 \cdot 2\sqrt {13} \cdot 2}}{{4 \cdot 4}} = \sqrt {65} .\)
Ответ: \(\sqrt {65} \).